考研数学 这样的n项和数列,其极限才能用定积分求

本文是之前一篇文章考研数学｜极限可用夹逼准则计算的n项和数列，就这3种类型！（后文用《夹逼法》代替）的姊妹篇。

《夹逼法》介绍了用夹逼准则计算n项和数列极限的条件和方

法。本篇将讨论适用于定积分法计算n项和极限的条件和计算方法。

用定积分计算n项和数列极限是考研数学重要的考点，基本每4-5年考一次，最近的一年是2017年。老梁估计2021年考查这个考点的可能性很大。给一个n项和数列，使用定积分计算还是用夹逼准则计算，不少同学还是搞不清楚。前文《夹逼法》给出了适合用夹逼法则计算极限的n项和数列极限的3中类型。本文将重点介绍适合用定积分法计算极限的n项和数列的条件。

先介绍定积分与积分和的概念。

定积分与积分和

【评注1】

（1）可积函数的定积分就是某个n项和的极限；

（2）由函数f(x)可积的性质，在一定条件下，f(x)的定积分的值与积分和的选取无关，因此可以选取特殊的积分和计算定积分。

定积分与特殊积分和

从（*）式可以看出，右端实际上是一个n项和数列的极限，其中每一项都由两部分构成，其中

这样，若某一个n项和数列可以恒等变形为（*）式右端这种n项和数列的话，就可以利用定积

分来计算这个n项和的极限了。

适合用定积分计算极限的n项和数列的条件与方法

一般来说，（*）式还是比较复杂，因此，在利用定积分计算n项和数列时常常采用如下的基本形式。

基本形式

(**)式在形式上九简单多了。如果某一个n项和数列可以恒等变形为（**）式右端这种n项和数列的话，就可以利用定积分来计算这个n项和的极限了。

2. 适合用定积分法计算极限的n项和数列的条件

【评注2】

3. 几种变形扩展

(1) 积分限变形：2n项和数列

（2）n项积数列：转化为n项和

（3）二重积分

示例

【评注3】

二次求和式中，i 和 j 可分离，故可分开用定积分求解，再转化为二重积分。

结语

一般来说，能利用夹逼准则和定积分计算的n项和数列具有不同的特点，分别需要满足不同的条件。根据《夹逼法》和本文的讨论，有如下结论：

关于n项和数列的极限问题的这两种方法，大家都掌握了吗？

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老梁可作为下一步推文内容介绍给大家。

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