考研数学准备 导数存在的条件

??注：可导是连续的充分而非必要条件.

例3：证明函数f(x)=x^2D(x)仅在点x0=0处可导，其中D(x)为狄利克雷函数.

证：当x0≠0时，由归结原理可得f在x= x0处不连续，

∴f在x= x0处不可导.

当x0=0时，∵D(x)有界，

∴f’(0)= lim(x→0)(f(x)-f(0))/x=lim(x→0)xD(x)=0.即f仅在点x0=0处可导.

定义2：设函数y=f(x)在点x0的某右邻域(x0, x0+δ)上有定义，若右极限

lim(△x→0+)(△y)/(△x)=lim(△x→0+)(f(x0+△x)-f(x0))/(△x)(0<△x<δ)存在，则称该极限值为f在点x0的右导数，记作f’+(x0).

类似的，定义左导数为f’-(x0)=lim(△x→0-)(△y)/(△x)=lim(△x→0+)(f(x0+△x)-f(x0))/(△x).

右导数和左导数统称为单侧导数.

定理5.2：若函数f在点x0的某右邻域内有定义，则f’(x0)存在的充要条件是：

f’+(x0)与f’-(x0)都存在，且f’+(x0)=f’-(x0).

讨论f(x)在x=0处的左右导数与导数.

解：f’+(0)= lim(△x→0+)(f(△x)-f(0))/(△x)=lim(△x→0+)(1-cos△x)/(△x)=0.

f’-(x0)=lim┬(△x→0+)(f(△x)-f(0))/(△x)=lim┬(△x→0+)(△x)/(△x)=1.

∵f’+(x0)≠f’-(x0)，∴f在x=0处不可导.