考研数学 这样的n项和数列,其极限才能用定积分求
本文是之前一篇文章考研数学|极限可用夹逼准则计算的n项和数列,就这3种类型!(后文用《夹逼法》代替)的姊妹篇。
《夹逼法》介绍了用夹逼准则计算n项和数列极限的条件和方
法。本篇将讨论适用于定积分法计算n项和极限的条件和计算方法。
用定积分计算n项和数列极限是考研数学重要的考点,基本每4-5年考一次,最近的一年是2017年。老梁估计2021年考查这个考点的可能性很大。给一个n项和数列,使用定积分计算还是用夹逼准则计算,不少同学还是搞不清楚。前文《夹逼法》给出了适合用夹逼法则计算极限的n项和数列极限的3中类型。本文将重点介绍适合用定积分法计算极限的n项和数列的条件。
先介绍定积分与积分和的概念。
定积分与积分和
【评注1】
(1)可积函数的定积分就是某个n项和的极限;
(2)由函数f(x)可积的性质,在一定条件下,f(x)的定积分的值与积分和的选取无关,因此可以选取特殊的积分和计算定积分。
定积分与特殊积分和
从(*)式可以看出,右端实际上是一个n项和数列的极限,其中每一项都由两部分构成,其中
这样,若某一个n项和数列可以恒等变形为(*)式右端这种n项和数列的话,就可以利用定积
分来计算这个n项和的极限了。
适合用定积分计算极限的n项和数列的条件与方法
一般来说,(*)式还是比较复杂,因此,在利用定积分计算n项和数列时常常采用如下的基本形式。
基本形式
(**)式在形式上九简单多了。如果某一个n项和数列可以恒等变形为(**)式右端这种n项和数列的话,就可以利用定积分来计算这个n项和的极限了。
2. 适合用定积分法计算极限的n项和数列的条件
【评注2】
3. 几种变形扩展
(1) 积分限变形:2n项和数列
(2)n项积数列:转化为n项和
(3)二重积分
示例
【评注3】
二次求和式中,i 和 j 可分离,故可分开用定积分求解,再转化为二重积分。
结语
一般来说,能利用夹逼准则和定积分计算的n项和数列具有不同的特点,分别需要满足不同的条件。根据《夹逼法》和本文的讨论,有如下结论:
关于n项和数列的极限问题的这两种方法,大家都掌握了吗?
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